Нелинейное программирование


Нелинейное программирование

Нелинейное программирование [nonlinear programming] — раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты (эффективность) возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства) — например, из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные, из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую, из-за влияния экстерналий (см.Внешняя экономия, внешние издержки) и т.д.

В краткой форме задачу Н.п. можно записать так:

F (x)  →  max

при условиях   g (x)  ≤ bx  ≥ 0.

где xвектор искомых переменных, F (x)  — целевая функция, g (x)  — функция ограничений (непрерывно дифференцируемая), bвектор констант ограничений (выбор знака  ≤ в первом условии здесь произволен, его всегда можно изменить на обратный).

Решение задачи нелинейного программирования (глобальный максимум или минимум) может принадлежать либо границе, либо внутренней части допустимого множества.

Иначе говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При этом не оговаривается форма ни целевой функции, ни неравенств. Могут быть разные случаи: целевая функция — нелинейна, а ограничения — линейны; целевая функция — линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) — нелинейны; и целевая функция, и ограничения нелинейны.

Задачи, в которых число переменных и (или) число ограничений бесконечно, называются задачами бесконечномерного Н.п. Задачи, в которых целевая функция и (или) функции ограничений содержат случайные элементы, называются задачами стохастического Н.п.

Например, задачу для двух переменных (выпуск продукта x и выпуск продукта y) и вогнутой целевой функции (прибыльp) можно геометрически представить на чертеже (см. рис. H.4; заштрихована область допустимых решений).

Эта задача реалистично отражает распространенное в экономике явление: рост прибыли с ростом производства до определенного (оптимального) уровня в точке B’, а затем ее снижение, например, вследствие затоваривания продукцией или исчерпания наиболее эффективных ресурсов.

Нелинейные задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводят к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных.

Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач. Нелинейные задачи в определенных условиях  решаются с помощью функции Лагранжа (см. Множители Лагранжа, Лагранжиан): найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи.

Среди вычислительных алгоритмов Н.п. большое место занимают градиентные методы. Универсального же метода для нелинейных задач нет, и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи. Для некоторых типов задач выпуклого программирования (вид нелинейного) разработаны эффективные численные методы оптимизации

Рис. Н.4  Нелинейное программирование(заштрихована область допустимых решений)


Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. . 2003.

Смотреть что такое "Нелинейное программирование" в других словарях:

  • нелинейное программирование — Раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты… …   Справочник технического переводчика

  • Нелинейное программирование — (NLP, англ. NonLinear Programming)  случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением является нелинейная функция. Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума… …   Википедия

  • НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математического программирования, посвященный теории и методам решения задач оптимизации нелинейных функций на множествах, задаваемых нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Основная трудность решения задач Н. п. состоит в …   Математическая энциклопедия

  • нелинейное программирование — netiesinis programavimas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. nonlinear programming vok. nichtlineare Programmierung, f rus. нелинейное программирование, n pranc. programmation non linéaire, f …   Automatikos terminų žodynas

  • ПРОГРАММИРОВАНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ — раздел прикладной математики, применяющийся в качестве метода в экономических исследованиях. Разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных задач, является основной частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления …   Большой экономический словарь

  • КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел выпуклого программирования, посвященный теории и методам решения задач минимизации выпуклых квадратичных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств. Существует законченная теория К. п., и разработаны… …   Математическая энциклопедия

  • Линейное программирование — Линейное программирование  математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование… …   Википедия

  • Математическое программирование — [mathematical prog­ramming] (см. также Оптимальное программирование) раздел математики, который «… изучает методы решения задач на нахождение экстремума функций (показателя качества решения) при ограничениях в форме уравнений и… …   Экономико-математический словарь

  • ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математического программирования, посвященный теории и методам решения задач минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах, задаваемых системами неравенств и равенств. Существует законченная теория В. п. и разработаны многочисленные… …   Математическая энциклопедия

  • Математическое программирование —         математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).          М. п. раздел науки об… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Нелинейное программирование» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.